调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)
算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n
平方平均数：qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn
q2：n个数的算术平均数大于等于几何平均数怎么证明？证明过程如下：
设f(x)=e^(x-1)–x，f’(x)=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1)。
f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。
f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0
所以e^(x-1)≥x
设xi>0，i=1，n。算术平均值为a=(x1+x2+x3+…+xn)/n，a>0。
x/a≤e^(x/a-1)
(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a)≤e^(x1/a-1)e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)…e^(xn/a-1)
=e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)
=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]
=e^[na/a-n]=e^0=1
所以
(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a)
=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n≤1
即(x1*x2*x3*…*xn)≤a^n
(x1*x2*x3*…*xn)^(1/n)≤a,即算术平均数大于等于几何平均数。
扩展资料：
算数平均数特点
1、算术平均数是一个良好的集中量数，具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等优点。
2、算术平均数易受极端数据的影响，这是因为平均数反应灵敏，每个数据的或大或小的变化都会影响到最终结果。
几何平均数特点
1、几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。
2、如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数。
3、它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。
4、几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。
q3：证明算术平均值大于等于几何平均值大于等于调和平均值an>0
(a0+a1+a2+...+an)/2>=根号(a0a1a2...an)
n=1时，即证(a0+a1)/2>=根号(a0a1)
根据基本不等式，a0+a1>=2根号（a0a1)
(a0+a1)/2>=根号(a0a1)
n=k时，（a0+a1+...+ak)/2>=根号（a0a1...ak)成立
要证明(a0+a1+...+ak+a(k+1))/2>=根号(a0a1...aka(k+1))
令a0+a1+...+ak=t
a0a1...ak=n
k+a(k+1)>=2根号(k*
要证明(a0+a1+...+ak+a(k+1))/2>=根号(a0a1...aka(k+1))
(a0+a1+...+ak）+a(k+1)>=2根号(a0+a1+...+ak)*a(k+1))
(a0+a1+...+ak)a(k+1)>=2根号（a0a1...ak)*a(k+1)>=2根号(a0a1...aka(k+1))
因此算术平均值大于等于几何平均值
好象错了....
你还是看看这个网页吧
http://:81/media_file/rm/ip2/2002_5_27/gdds/gdds6/htm/gdds525.htm
q4：n个数的几何平均数小于等于它的算术平均数，详细证明过程用数学归纳法证n个非负数a1，a2，…，an的几何平均数是(a1a2…an)1/n算术平均数是(a1+a2+…an)/n证明：(a1a2…an)1/n<=(a1+a2+…an)/n证明当n=1的时候，(1)式不证自明．如果a1，a2，…，an里有一个等于0，(1)式也不证自明．现在假设0＜a1≤a2≤…≤an．如果a1=an，那末所有的aj(j=1，2，…，n)都相等，(1)式也就不证自明．所以我们进一步假设a1＜an，并且假设(a1a2…an)1/n<=(a1+a2+…an)/n成立(a1+a2+…an+1)/(n+1)=n/n*((a1+a2+…an)/(n+1)=(a1+a2+…an)/n-(an+1-(a1+a2+…an)/n)/n+1把等式两边都乘方n(n＞1)次，并且由(a+b)n＞an+nan-1b，(a＞0，b＞0)（证明）由二项式定理可知(a+b)^n=a^n+c(n,1)a^(n-1)b+c(n,2)a^(n-2)b^2+...+c(n,n-1)ab^(n-1)+b^n.由c(a,b)=a!/（b!(a-b)!），把a=n,b=1代入，得c(n,1)a^(n-1)b=an+nan-1b所以(a+b)n＞an+nan-1b，(a＞0，b＞0)可知（(a1+a2+…an+1)/n+1）n+1＞（(a1+a2+…an)/n）n+1+（n+1）*（(a1+a2+…an)/n）n(an+1-(a1+a2+…an)/n)/n+1=an+1（(a1+a2+…an)/n）n＞=a1a2…an*an+1定理得证．
